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将毕达哥拉斯定理拓展到无限,会发生什么?

时间: 2020年03月31日 | 作者: Ethan Siegel | 来源: 原理
毕达哥拉斯定理几乎是所有人最早学到的数学定理之一:一个直角三角形最长的边(斜边)的平方,等于另两条边(直角边)的平方和。


撰文:Ethan Siegel,天体物理学家,作者,科学传播工作者,在多所大学教授物理与天文学。


毕达哥拉斯定理几乎是所有人最早学到的数学定理之一:一个直角三角形最长的边(斜边)的平方,等于另两条边(直角边)的平方和。满足这一定理的第一个整数组合是三边分别为 3、4 和 5 的三角形:3² + 4² = 5²。其他一些同样满足这一关系的整数组还包括:


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当然这样的整数组还有很多。但 3、4 和 5 是其中最特殊的一组,因为它们是唯一满足毕达哥拉斯定理的连续整数。


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这个简单的乘法表沿对角线展示了前 20 个正整数的平方数。神奇的是,不仅 ² + 4² = 5² 成立,10² + 11² + 12² = 13² + 14² 也同样成立。这种关系并不是巧合。


事实上,它们是唯一满足等式 a² + b² = c² 的连续整数。但是,如果你允许在这个等式囊括更多数字,或许就可以有其它连续整数能满足更复杂的等式,比如 a² + b² + c² = d² + e²。而有意思的是,这个等式也只有一个连续整数组解:10² + 11² + 12² = 13² + 14²。


原因是这样的。


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直角三角形任意两条直角边的平方和,总是等于斜边的平方。但这种关系远不止一个简单的等式。


认识毕达哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假设有一个边长为 b 的正方形,这个正方形的面积也就是 b²。要使 a² + b² = c² 成立,并且希望 a、b 和 c 是连续的整数,那么就自然对 a 和 c 有会产生极大的限制。


这意味着 c 必须等于(b + 1),而 a 必须等于(b - 1),我们可以运用一点代数知识来求解这个等式。


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因此,b 必须等于 0(这就没有意义了)或 4,其中 4 就是我们之前看到的毕达哥拉斯等式,也就是 3² + 4² = 5² 的情况。


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图上方的一个边长为 b 的正方形(蓝色)可以分成四块。如果沿着边长为(b-1)的正方形(黄色)的边正确地堆叠它们,则可以得到边长为(b+1)的正方形(绿色),这是理解毕达哥拉斯定理的另一种方法。


但我们也可以用图形来解决这个问题。如果从一个边长为 b 的正方形开始,把它分成宽为 1 、长为 b 的细长条。然后把这些细长条围在一个小一点的正方形 [也就是边长是 (b - 1) 的正方形]四周 ,从而得到一个更大的正方形[也就是边长是 (b + 1) 的正方形]。因为正方形有 4 条边,因此唯一做到这一点方法是,你得有 4 个长条,每边加上一条。


上图清楚地显示了如何完成它:

把中间的正方形分成 b 块,每块的宽是 1,

把这些细块放在更小的正方形 [这个正方形的边长是 a,即 (b - 1)]周围,

最后得到一个更大的正方形[这个正方形的边长是 c,即 (b + 1)]。


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边长为 3、4、5 的直角三角形,是满足毕达哥拉斯定理的第一组整数,也是满足该等式的唯一一组连续整数。


这是唯一能让等式 a² + b² = c² 成立的连续整数解。如果把那个中等大小的正方形变得更大或更小,都无法得到正确的条数围在较小的正方形周围。对于 a² + b² = c² 来说,只有 3、4 和 5 的这组连续整数能让等式成立。


但是,为什么只局限在三个数字呢?对于任何奇数个连续整数,都可能找到满足这种关系的连续整数,比如:


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等等等等。


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等式 10² + 11² + 12² = 13² + 14² 的两边都等于 365。在这幅 1895 年的画作中,它被用另一种形式——心算——流传了下来。| 图片来源:NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY


事实上,如果考虑第二种等式,也就是 a² + b² + c² = d² + e²,你会发现也只有一种连续整数组合能使等式成立:10² + 11² + 12² = 13² + 14²。等式左边的 100 + 121 + 144 相加等于 365,右边的 169 + 196 相加也等于365。


用代数方法可以求解这类等式,但花的时间可能会有点多。解到最后你会发现中间的数字 c 必须是 12(或 0),因此完整的等式是 10² + 11² + 12² = 13² + 14²。


但如果用之前的那种图形方法,你会发现还可以用一种直观的方法找到答案。


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同样,如果我们想解构一个正方形,并用它把两个较小的正方形变成两个较大的正方形,我们需要 4 个单位来调整一个正方形,需要8个单位来调整另一个正方形。这意味着一个边长 12 的正方形,可以分别将边长为 11 和 10 的正方形,变成边长为 13 和 14 的正方形。


和之前一样,我们取中间的正方形(它的边长是 c),并将其分成宽是 1、长是 c 的细长条。不过,与第一次不同的是,这次我们还有另外两个正方形,我们需要用这些细长条来把这两个正方形变得更大:


把一个较小的正方形[边长是 (c - 1)] 变成一个较大的正方形 [边长都是 (c + 1)],

把一个更小的正方形 [边长是 (c - 2)] 变成一个更大的正方形[边长都是 (c + 2)]。


就像上次一样,为了完成第一个正方形,我们总共需要 4 个宽度为 1 的细长条;但要实现第二个正方形,就还需要 4 条宽度为 2 的细长条。


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如果我们想用一个边长为 c 的正方形将两个较小的正方形 [边长分别为 (c-1) 和 (c-2)] 变成两个较大的正方形 [边长分别为 (c+1) 和 (c+2) ],我们需要 c=12 才能实现。


也就是说,只有当中间正方形的边长是12时,等式才成立,这就是为什么我们会得到等式 10² + 11² + 12² = 13² + 14²。如果这是一个边长为 12 的正方形,它可以被分成 12 个长条,你取其中 4 条(4 × 12 = 48),将 11² 变成 13²(121+48=169)。类似地,还可以用 8 条长条(8 × 12 = 96),并将 10² 转换为 14²(100 + 96 = 196)。这也就是 a² + b² + c² = d² + e² 的唯一连续整数解。


从这里开始,你可能隐约发现了一种规律,从数学的角度来看,这种规律很有趣。如果下一步我们找到包含了更多数字的等式的解是什么,我们就可以更清楚地看到这一点。


换言之,我们要如何找到 a² + b² + c² + d² = e² + f² + g² 的解?


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取 4 个连续整数的平方和,让它们等于接下来的 3 个整数的平方和,这是第三个可以写下来代表毕达哥拉斯游程的可能等式。


现在,我们还是要采用类似的方法,把三个较小的正方形变成更大的正方形:


将边长为  (d - 1) 的正方形变成边长为 (d + 1) 的正方形,需要 4 个单位长度,

将边长为 (d - 2) 的正方形变成边长为 (d + 2) 的正方形,需要 8 个单位长度,

将边长为 (d - 3) 的正方形变成边长为 (d + 3) 的正方形,需要 12 个单位长度。


如果中间的正方形恰好是边长为 4 + 8 + 12 = 24,就可以给这个等式提供可能的解,也就是 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27²。我们可以通过计算来验证一下,441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729,等式两边都等于 2030,也就是等式成立。


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这幅图代表第三个毕达哥拉斯游程,说明了为什么 24 是中间正方形边长的关键数字,它是等式 a² + b² + c² + d² = e² + f² + g² 的解。


在数学中,这类数列有一个特殊的名字,叫毕达哥拉斯游程(Pythagorean Runs),它可以追溯到毕达哥拉斯定理及其原始解 3² + 4² = 5²。这些数列中的中间数按 4、12、24、40、60、84、112……依此出现,可以一直排到无穷大。所以如果你想知道接下来的满足这类等式的数列是什么,你会得到:


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这看似疯狂的数学巧合,其实有着深刻而直接的解释。


一年(非闰年)中有 365 天,10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365。但上述数学事实与这一历法完全没有关系,也与地球的自转和绕太阳的公转没有关系。这种数学关系是毕达哥拉斯几何的直接结果,它比单纯的代数更直观,一年的天数反而在这里纯粹是个巧合。


毕达哥拉斯只从 a² + b² = c² 开始,它有 3、4、5 的唯一一组连续整数解。但是,我们可以任意扩展它,对于每一个可以写下的奇数项的等式,都只有一组连续整数的唯一解。这些毕达哥拉斯游程受一类精巧的数学结构来控制,通过了解平方是如何运作的,我们也可以理解为什么它们不可能以其他方式变化。


原文标题“This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level”,于2020年3月6日发表于Forbes,

原文链接:https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/#5b8b801d3953。

文章经作者授权翻译,中文仅供参考,一切以原文内容为准。