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一场数学中的生命游戏,一位数学怪才的游戏人生

时间: 2020年04月17日 | 作者: 佐佑 | 来源: 原理
有人说,康威可能是世界上最可爱的自大狂;也有人说,他是阿基米德、理查德·费曼、米克·贾格尔和萨尔瓦多·达利的结合体。不管怎么说,他是当代最伟大的数学家之一。

如果有一个史上最短论文的榜单,那么下面这篇数学论文一定榜上有名:


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论文的作者只用了两个词和两副图,便完成了证明所需的所有论证。


这篇论文提交于2005年,当《美国数学月刊》的编辑收到它时,也被它的简短所惊讶,并立马向论文作者提出能否多加一些解释的要求。但在作者的极力说服之下,这篇论文最终以这种简洁而特殊的形式发表了。


论文的第一作者是英国数学家约翰·霍顿·康威(John Horton Conway)。有人说,康威可能是世界上最可爱的自大狂;也有人说,他是阿基米德、理查德·费曼、米克·贾格尔(滚石乐队主唱)和萨尔瓦多·达利(超现实主义艺术家)的结合体。他是当代最伟大的数学家之一,他有着搞怪的幽默感和旺盛的好奇心,以及向每个人解释一切的冲动。数学家迈克尔·阿蒂亚曾说:“康威是世界上最神奇的数学家。”


这位天才数学家曾在很长一段时间里曾为自己的职业生涯担忧,他怕自己的数学天赋会被他对一些蠢游戏的热爱而毁掉,直到后来他意识到这些痴迷可以带来非凡的发现。在漫长的职业生涯中,他在群论、数论、代数、几何拓扑、理论物理、组合博弈论和几何等领域,都做出了重大贡献。


然而就上个周末,传来了关于这位最有趣的数学家的噩耗:4月11日,康威因COVID-19逝世,享年82岁。


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 约翰·霍顿·康威(1937 - 2020)。图片来源:Thane Plambeck


1937年12月26日,康威出生于利物浦。从小他就对数学表现出明显的兴趣,这一点与多数不凡的数学家或科学家雷同。的确,据他母亲回忆,康威从4岁时就可以背诵不同数字的二次方,11岁时就明确了想要成为一名数学家的决心。


1956年9月,顶着一头凌乱头发的清瘦少年带着一只箱子离开了家,他乘着蒸汽火车从利物浦南下前往剑桥——那是他梦寐以求的求学之地,也是他的数学生涯真正开始的地方。对康威来说,剑桥大学的学习生涯改变了他的整个人生。这是因为从他南下的那一刻起,他突然决定要变成一个不一样的人。


其实,风趣幽默的康威在年幼时曾是个柔弱敏感的孩子。中学时期的康威常因为自己内向的个性而被人打趣,这让他很痛苦。在前往剑桥的路上,他意识到过去那些在他身边取笑他的人都不会出现在他的大学生活里,这意味着,他或许可以重新开始,把自己变成一个自己更加向往的人:他变得外放,变得活跃,变得风趣,变得开始懂得自嘲。他曾回忆说,是那时的决定让他成为了我们后来所看到的康威。


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 康威的卡通形象。| 图片来源:Simon J Fraser


1964年,康威在剑桥完成了博士论文,之后继续留在剑桥任教。作为讲师,活跃的思维,活泼且接地气的教学风格,让他深受学生喜爱。他经常用生活中常见的事物,比如猫猫狗狗、汽车火车等物件探讨抽象的数学概念。比如当讲到对称性和正多面体时,他会带着一根萝卜和一把菜刀来到课堂上,然后一刀一刀的把萝卜切成正多面体,还边切边吃。


然而在学术方面,可以说康威在1968年之前基本上没有完成过什么工作。他把大把时间都用在了玩游戏,发明小游戏,或者改写那些他认为无聊的游戏的规则上。大部分时候,他玩的那些游戏都有点幼稚,比如点格棋、狐入鹅群等等,他还经常跟小孩子一起玩。从表面看来,好像他每天都玩得很开心,但其实他的内心无比焦虑,他担心自己配不上这个职位,害怕自己的数学灵魂正在枯萎。


作为一名珍爱自己数学天赋的数学家,康威的担忧是可以理解的。但幸好事实显然并非如此,回看康威一生对数学作出的数不清的贡献中,游戏在其中占据了很大的比重。其中最著名的一个游戏,就是在20世纪60年代末发明的生命游戏(Conway’s Game of Life)。


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生命游戏。| 图片来源:康奈尔大学


这是一种模拟自然界的生命演化的游戏,它是最早的一个细胞自动机。在这个游戏中,细胞自动机是一个由不同组的细胞构成的小机器,不同组的细胞会在离散的时间(比如一秒一秒地)上迭代演化。这些细胞会随着时间一秒一秒地推移而发生形变,演变成其他东西。


生命游戏的规则并不复杂,它需要在网格上进行,比如在一个棋盘上。在这个游戏中,细胞可以有两种状态:“生”和“死”,我们可以用黑和白两种颜色来分别代表生和死。一个方格所代表的细胞周围有8个相邻的方格,它的规则是:


如果一个死亡细胞在当前时间 t 拥有3个相邻的细胞是活的,那么在时间 t+1,它就会变成活细胞;

如果一个活细胞在当前时间 t 只有0个或1个相邻的细胞是活的,那么在时间 t+1 它就会因“孤独”而死;

如果一个活细胞在当前时间 t 有4个或4个以上的相邻细胞是活的,那么在时间 t+1 它就会因“拥挤”而死。

如果一个活细胞在当前时间 t 有2个或3个相邻的细胞是活的,那么在时间 t+1 它仍然是活的。


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康威的生命游戏规则。图片参考来源:康奈尔大学


严格说来,生命游戏并不是一个真正的游戏,康威称这是一款“没有玩家的永无止境”的游戏。而这个游戏带来的最大启示,或许就是它显示了,当像生命游戏中的细胞这样的简单东西,在遵循了几条基本的游戏规则之后,可以随着时间的推移演化出高度复杂的特征。在电视节目《史蒂芬.霍金之大设计》就提到,甚至智力也可以这样衍生出来,只是它可能需要一个由数十亿、数百亿个方格组成的网格。


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1974年,康威在玩生命游戏。| 图片来源:Kelvin Brodie / The Sun News Syndication


康威发明过许许多多的游戏,其中很多都被记录在了他与埃尔温·伯利坎普(Elwyn Berlekamp)以及理查德·盖伊(Richard Guy)一同合著的书籍《稳操胜券》(Winning Ways for Your Mathematical Plays)中,这本著作记录着康威对组合博弈论的贡献。


虽然他会因为那看似不务正业的兴趣爱好而称自己浅薄,但没人能否认他在数学的众多领域都作出了广泛而深远的贡献。


上世纪70和80年代是康威的高产时期。几何学是他的第一个严肃爱好,他完全沉浸在了对称的海洋中。他发现了三个零散单群,其中最大的被称为康威群,它是一个24维的对称群,与在24维空间中堆积球(sphere packing)有关。在这样一个空间中,每个球与196560个球相接。


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康威的关于球堆积问题的草稿。图片来源:John Conway


此外,他还研究了所有零散单群中最大的被称为大魔群的群。在他和西蒙·诺顿(Simon Norton)的一篇题为《魔群月光》的论文中,就描述了一个有着196883维的大魔群。我们可以将大魔群想象成一片奇怪的雪花,在196883维的空间里,这片雪花有超过1050个对称性。它包含这些元素:2⁴⁶×3²⁰×5⁹×7⁶×11²×13³×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8×10⁵³,这个数字比太阳中的夸克数还大。尽管它如此庞大,但它是一个单群,也就是说它除了单位元和它自身之外,它没有任何正规子群。


他对多维几何有着超凡的理解,1985年,他与数学家尼尔·斯隆(Neil Sloane)还在继续研究多维度的球堆积问题。那一年,美国的一个专利”多维码的解码技术“就将他们的球堆积研究应用到了编码理论中。1988年,他与斯隆合著了《球堆积、晶格与群》一书。


而在众多成就中,他最为之骄傲的是他在1969年发明的一类新型的数字,这些数字现在被称为“超现实数”。超现实数是那些不仅包含了实数,还包括无穷大和无穷小的数字的连续统。


超现实数通常用符号{a|b}来表示,{|} = 0,而{0| } = 1是大于0的最简单的数字,{1| } = 2是大于1的最简单数字,以此类推。类似地,{ |0} = -1是小于0的最简单的数,以此类推。与此同时,2也可以被表示成 {1|3}、{3/2|4}等。最为神奇的是,康威是通过玩游戏和分析游戏发现的这些奇怪数字——他能从游戏中看到隐藏在其中的数字。他说他唯一的遗憾是还没能看到超现实数的应用。然而数学家普遍认为,找到超现实数的应用只是时间问题。有人认为,或许有一天,这些奇怪的数字能解释从宇宙的无限大到量子的无限小之间的一切。


从1957年来到剑桥开始,康威在这这个地方停留了30年的时间。1987年,他前往大洋彼岸,成为了普林斯顿大学的数学教授,在那里,他被委以教学重任,直至退休。2004年,康威和普林斯顿的西蒙·寇辰(Simon Kochen)从量子力学的Kochen-Specker无隐变量原理出发,证明了自由意志定理。它指出,如果一个实验者可以自由选择在一个特定的实验中测量什么,那么基本粒子也可以自由地选择它们的自旋,以使测量符合物理定律。


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2009年康威在普林斯顿大学。图片来源:Denise Applewhite / Princeton University


这些成就让他收获了大大小小无数的奖项和荣誉。比如其中就有他后来常津津乐道的在领取伦敦皇家学会会员荣誉时的故事:1981年,康威被皇家学会授予会员资格,在签署入选皇家学会会员之书的仪式上,他看到了书的前几页上写着艾萨克·牛顿、阿尔伯特·爱因斯坦、艾伦·图灵和伯特兰·罗素这些赫赫有名的名字,这让他颇感得意。


在康威获得的众多奖项中,有数学中的诺贝尔奖之称的阿贝尔奖却不是其中之一。曾有消息说,他已被阿贝尔奖提名,并且最有可能因为在群论方面的工作而获奖。但这终究无法成为现实了。一场从2019年就给无数人带来伤痛的病毒大流行,在4月11日那天,带走了这位风趣、搞怪、才华横溢的数学家。


参考来源:

https://www.theguardian.com/science/2015/jul/23/john-horton-conway-the-most-charismatic-mathematician-in-the-world#img-1

https://www.quantamagazine.org/john-conways-life-in-games-20150828/

http://pi.math.cornell.edu/~lipa/mec/lesson6.html

https://dof.princeton.edu/about/clerk-faculty/emeritus/john-horton-conway

https://www.ourbiography.com/john-horton-conway/

https://www.daviddarling.info/encyclopedia/M/Monster_group.html