封图来源：Unsplash
撰文 | 杰克·默塔（Jack Murtagh）
翻译 | 陶兆巍
当你在线上购物，选好商品下单后，你来到了支付页面，准备输入银行卡号。还没敲回车，屏幕上就跳出红色警告：“请输入有效的银行卡号。”你恼火地逐位检查，终于发现问题：本该是5的位置打成了6。修正后，支付顺利完成。但网站是如何快速发现错误的？难道他们存储了所有有效卡号？这个问题的答案其实很巧妙。
所有银行卡号都采用了一种专门用于捕捉常见输入错误的数学技巧。这种技巧被称为卢恩算法（Luhn algorithm），以美国IBM公司研究员汉斯·彼得·卢恩（Hans Peter Luhn）的名字命名，他在1960年为该算法申请了专利。类似的错误检验机制潜藏在你日常接触的许多数字中，比如，条形码、银行账号，甚至书籍的ISBN号等。
拿出一张银行卡，你会发现卡号的结构远比表面上看起来复杂。一个银行卡卡号的构成包括四个主要部分。以我个人的Visa卡为例：
第一位数字是主要行业标识符。Visa卡总是以4开头，而Discover卡以6开头。接下来的五到七位数字确定了发卡银行或机构。剩余部分（除去末位）是你在该银行的具体账号。最后一位，有时被称为校验位（check digit），与金融机构无关。发卡方添加它，是为了让整个卡号能够通过一个特定的数学检验——卢恩算法。该算法的工作流程如下：
1.写下卡号除最后一位外的所有数字。
2.从右往左，每隔一位将数字翻倍。
3.将所有得到的数位（注意不是数字本身）相加。例如，你在第2步将7翻倍成14，那么在这一步它会变成1+4=5。
4.将总和加上校验位。若末位不是0，则卡号无效。
下面用我的Visa卡演示卢恩算法（你也可以用自己的银行卡试试）。结果是75，不是10的倍数。所以这不可能是我的真实卡号，我肯定打错了。
对于银行卡发卡方，他们会首先分配账号，然后执行卢恩算法的前三步来确定校验位。比如，我展示卡号的校验位应为3。这套算法之所以能主导银行卡验证，源于其简洁性和强大的功能。如果你在输入卡号时弄错了任何一位数字，卢恩算法都能检测出来。如果你不小心把相邻的两位数字顺序弄反了，它也能检测到（唯一的例外是09和90互换）。
那么，卢恩算法为什么能检测到单个数字的输入错误？如果错误发生在不翻倍的位置，则会改变这个求和项中的一个数字；如果发生在翻倍的位置，由于翻倍后再将两位数字求和的操作分别将（0，1，2，…，9）变成了（0，2，4，6，8，1，3，5，7，9），错误仍然会改变求和项中的一个数字。因此任何单个数字输入错误肯定会导致总和不是10的倍数。
形式化地证明卢恩算法能检测相邻数字互换需要一些分类讨论，但以下例子可以说明其原理。假设我们的银行卡号中有序列31，其中3处于翻倍位置。我们不小心输成了13。在正确的总和中，这对数字贡献（3×2）+1=7，而在错误的总和中，它贡献（1×2）+3=5。因此这个错误最终使我们的总和改变了2，从而破坏了总和除以10的余数。我们只需验证这对所有数字对（除了09和90）都成立即可。
荷兰数学家雅各布斯·费尔霍夫（Jacobus Verhoeff）在1969年报告称，这两类错误——单个数字输错和相邻数互换——在实际应用中占人工输入错误的近90%。费尔霍夫开发了一种更全面的算法，除了能检测卢恩算法能检测的所有错误外，还能捕捉09和90的互换，以及更多罕见的失误。费尔霍夫算法堪称一项数学成就。当时甚至有人发表过错误的证明，声称单个校验位不可能携带足够的信息来捕捉所有这些错误。然而，费尔霍夫算法从未被广泛采用，也许是因为它更复杂，也可能是因为卢恩算法已经广泛应用，且效果足够好。
卢恩算法不仅能节省你的时间，也能节省商家的成本。如果没有这种数学技巧，每次网购付款，商家都需要将你的信息发送到专门的银行卡验证服务机构，来确认卡片属于你本人。这种通信既浪费时间，也耗费金钱。而卢恩算法所需的算力极小，本地计算机即可自行检查这类常见输入错误，无需任何昂贵的通信手段。
需要注意的是，通过卢恩算法检验并不能保证卡号有效，但未通过检验则代表卡号一定无效。该算法构建了第一道防线，一些不常见的输入错误和诈骗者仍有可能绕过它。而这些情况会被更消耗资源的银行卡验证服务捕获。
下次当你在银行卡支付页面再遇到那条恼人的错误提示时，请记住：底层的一段简单数学代码为所有人都节省了一点时间或金钱。
本文来自《环球科学》2025年12月刊《银行卡号的数学秘密》一文。